En el análisis matemático, el teorema de Heine-Borel (también llamado teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o incluso teorema de Borel-Lebesgue) es uno que establece condiciones para que un subconjunto de 
o de 
sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.
o de sea compacto. Cuando se refiere al caso particular de la recta real recibe el nombre de Teorema de Heine-Borel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.El teorema se enuncia de la siguiente manera:
Si un conjunto
tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:es cerrado y acotado.
- Todo subconjunto infinito de
Teoremas preliminares
|
Sea 
un conjunto cerrado y 
un conjunto compacto tales que 
.
un conjunto cerrado y un conjunto compacto tales que .
Sea 
una cubierta abierta de , entonces 
es una cubierta abierta de (podemos agregar 
ya que es abierto). Como es compacto entonces 
tiene un refinamiento finito que también cubre a . Podemos quitar a y sigue cubriendo a . Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de
una cubierta abierta de , entonces es una cubierta abierta de (podemos agregar ya que es abierto). Como es compacto entonces tiene un refinamiento finito que también cubre a . Podemos quitar a y sigue cubriendo a . Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de Si no tuviera puntos de acumulación en entonces  donde  es una epsilon-vecindad y  . Es claro que el conjunto de estas vecindades forman una cubierta par pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para que contradiría la definición de que es compacto.Toda k-celda es compacta
Sea
 una k-celda que consiste de todos los puntos x tal que  y  . Sea  entonces si  . Sea una cubierta arbitraria de  y supongamos que no se puede cubrir con una cantidad finita de  's.
Tomemos
 entonces los intervalos ![[a_s,c_s] [c_s,b_s]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vzQghx6gkcMVG0MDvf3jFtiEs-M58z2n3fshvxQjzu0nI1QszFehC1KCoZoC0q7AqDvbLDRBtUTSnXlm4fSMWgLArmepAV97IXNH1JOVamsH6d53LU5vYbp_QTh566LyWjBIwRMJsbXrUZui9NWw=s0-d) determinan  celdas  . Entonces por lo menos un  no se puede cubrir con una cantidad finita de 's. Lo llamaremos  y así obtenemos una sucesión  tal que:
Digamos que
 , como  cubre a entonces  . Como  es abierto  . Si tomamos n suficientemente grande tal que  tenemos que este  lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.Demostración del teorema de Heine-Borel
Si cumple 1) entonces
 para alguna k-celda , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si no es conexo entonces contiene un conjunto { } tal que  entonces el subconjunto {} es finito y tiene un límite en , lo cual contradice 3). Si no es abierto entonces existe un elemento  que es un punto de acumulación de pero no está en . Para  existen  tales que  , entonces el conjunto {} es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3). |
, donde 
.
no se puede cubrir con una cantidad finita de 
entonces 
.
El teorema de Heine-Borel también llamado teorema de Borel-Lebesgue en el análisis matemático establece: Un subconjunto de es cerrado y acotado si y solo si es compacto, esto es si admite un recubrimiento infinito admite también un recubrimiento finito, en el caso particular aplicado a la recta real recibe propiamente el nombre de Teorema de Heine-Borel fuera de este caso es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue.
ResponderEliminarMalditos
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