Análisis Matemático UPEL: septiembre 2014

domingo, 7 de septiembre de 2014

Cardinalidad...

Aporte realizado por Nahomi Ortiz

sábado, 6 de septiembre de 2014

Mètodo de las Derivadas Sucesivas

Con este video, se puede visualizar de manera clara y sencila las derivadas sucesivas

Derivación de Funciones de una Variable

TEOREMAS APLICADOS EN LA DERIVADA

http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/calculo/apuntes/33_teoremas.pdf

viernes, 5 de septiembre de 2014

Teorema de Cauchy aplicado en la derivada

jueves, 4 de septiembre de 2014

Regla de L'Hopital (Aportado por-: Wilmary Pinto)

Regla de L’Hôpital.

Publicado por Wilmary Pinto

La regla de L’Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas.

, en donde f y g son derivables en un entorno de a y existe Descripción: límite

, entonces este límite coincide con Descripción: límite

Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma Descripción: límite

, donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:

Ejemplos

Funciones Derivables

Temas en general
(Investigado por Wilmarys Silvera)

https://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/Calculo/Tema5/APUNTEStema_5.pdf

Teorema de Langrage en la derivada

Investigadora: WLIMARYS SILVERA

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c pertenece (a,b) tal que: fórmula del teorema del valor medio

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b).

Ejemplos

1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?

f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

teorema del valor medio

solución

2.¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?

La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.

3.En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.

Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.

sistema de ecuaciones

parábola

Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].

derivada

teorema del valor medio

operaciones

solución

4.Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.

ecuación de la recta

Por ser y = x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio:

teorema de valor medio

operaciones

solución

5.Determinar a y b para que la función

función

cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].

En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].

límites laterales

operaciones

En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).

derivadas laterales

Teorema de Rolle en la derivada (Investigado por Wilmarys Silvera)

Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c pertenece (a, b) en el que f'(c) = 0.

Interpretación gráfica del teorema de Rolle

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

Ejemplos

1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

función

La función es continua en [0, 2].

No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

derivada

di+

2. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.

f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.

Además se cumple que:

f(−1) = f(0) = f(1) = 0

Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

derivada

solución

3.¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?

La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.

No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).

4.Probar que la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.

Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.

Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos que:

f(x1) = f(x2) = 0

Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c pertenece (x1, x2) tal que f' (c) = 0.

f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).

Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el discrimínante es negativo:

Δ = 9 − 24 < 0.Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.

miércoles, 3 de septiembre de 2014

Guillaume de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pital.jpg/180px-Guillaume_de_l%27H%C3%B4pital.jpg

Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli¹ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada

Enunciado

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo: $\frac{0}{0}$ Ó $\frac{\infty}{\infty}$

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠c.

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

$\lim_{x \to c}{f(x)\over g(x)} = \lim_{x \to c}{f'(x) \over g'(x)}$

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración. Se asume que tanto f como g son derivables en c, y además las derivadas de f y g son funciones continuas

Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b, con x distinto de c, se puede escribir de la siguiente manera:

${f(x)\over g(x)} = {f(x)-f(c) \over g(x)-g(c)} = \cfrac{ \cfrac{f(x)-f(c)}{x-c} }{ \cfrac{g(x)-g(c)}{x-c} }$

Sabemos que f y g son derivables en c y que g'(x) no se anula en x=c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

$\lim_{x \to c} \cfrac{f(x)}{g(x)} = \cfrac {\displaystyle \lim_{x \to c} \cfrac{f(x)-f(c)}{x-c} } {\displaystyle \lim_{x \to c} \cfrac{g(x)-g(c)}{x-c} } = \cfrac{f'(c)}{g'(c)}$

Teoremas de Cauchy y L'Hôpital

Teorema de Cauchy

Augustin Cauchy (1789-1857)

H) f(x) y g(x) continuas en [a,b]
    f(x) y g(x) derivables en (a,b)
    f'²(x) + g'²(x) distinto de 0 para todo x perteneciente a (a,b)
    (Las derivadas no se anulan en el mismo punto del intervalo.)
    g(a) distinto de g(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)

Demostración:
Sea h(x) = f(x) + kg(x)

h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b].
h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b).
Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle.

=> f(a) + kg(a) = f(b) + kg(b)
k(g(a) - g(b)) = f(b) - f(a)
k = (f(b) - f(a))/(g(a) - g(b))
De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle existe c perteneciente a (a,b) / h'(c) = 0.
h'(x) = f'(x) + kg'(x)
h'(c) = f'(c) + kg'(c) = 0
f'(c)/g'(c) = -k
f'(c)/g'(c) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a))

Teorema de L'Hôpital

François Antoine de L'Hôpital (1661-1704)

H) lim_x->a f(x) = lim_x->a g(x) = 0
Existe lim_x->a f'(x)/g'(x)
T) lim_x->a f(x)/g(x) = lim_x->a f'(x)/g'(x)

Demostración:
Por H) existe f'(x) y g'(x) en un E^*_a => f y g son derivables en un E^*_a => (teorema) f y g son continuas en E^*_a
A f(a) y g(a) les adjudicamos el valor 0 en a porque si son discontinuas en a es una discontinuidad evitable.
f(a) = g(a) = 0
Supongo lim_x->a f'(x)/g'(x) = b => por definición de límite para todo E_b existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f'(x)/g'(x) pertenece al E_b.
Sea x perteneciente a un E^*_a
f y g son continuas en [x,a] y derivables en (x,a) => por el teorema de Cauchy existe c perteneciente a (x,a) / (f(a) - f(x))/(g(a) - g(x)) = f'(c)/g'(c)
o sea f(x)/g(x) = f'(c)/g'(c)
c pertenece a un E^*_a => f'(c)/g'(c) pertenece a un E_b => f(x)/g(x) pertenece al E_b.
=> lim_x->a f(x)/g(x) = b => lim_x->a f(x)/g(x) = lim_x->a f'(x)/g'(x).

Ejemplo

    2x - 2

lim ------  es una indeterminación 0/0.

x->1  Lx

Derivemos el numerador y el denominador y veamos el límite:

       2                                 2x - 2

lim ------- = 2   => por L'Hôpital   lim ------ = 2

x->1  1/x                            x->1  Lx

Ejercicios:

Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.