Guillaume de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital

Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli¹ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada

Enunciado

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo:             Ó      

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠c. Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración. Se asume que tanto f como g son derivables en c, y además las derivadas de f y g son funciones continuas

• Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b, con x distinto de c, se puede escribir de la siguiente manera:

• Sabemos que f y g son derivables en c y que g'(x) no se anula en x=c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

Teoremas de Cauchy y L'Hôpital Teorema de Cauchy Augustin Cauchy (1789-1857) H) f(x) y g(x) continuas en [a,b]     f(x) y g(x) derivables en (a,b)     f'2(x) + g'2(x) distinto de 0 para todo x perteneciente a (a,b)     (Las derivadas no se anulan en el mismo punto del intervalo.)     g(a) distinto de g(b) T) Existe c perteneciente a (a,b) / (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c) Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x) h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. => f(a) + kg(a) = f(b) + kg(b) k(g(a) - g(b)) = f(b) - f(a) k = (f(b) - f(a))/(g(a) - g(b)) De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle existe c perteneciente a (a,b) / h'(c) = 0. h'(x) = f'(x) + kg'(x) h'(c) = f'(c) + kg'(c) = 0 f'(c)/g'(c) = -k f'(c)/g'(c) = (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) Teorema de L'Hôpital François Antoine de L'Hôpital (1661-1704) H) limx->a f(x) = limx->a g(x) = 0     Existe limx->a f'(x)/g'(x) T) limx->a f(x)/g(x) = limx->a f'(x)/g'(x) Demostración: Por H) existe f'(x) y g'(x) en un E*a => f y g son derivables en un E*a => (teorema) f y g son continuas en E*a A f(a) y g(a) les adjudicamos el valor 0 en a porque si son discontinuas en a es una discontinuidad evitable. f(a) = g(a) = 0 Supongo limx->a f'(x)/g'(x) = b => por definición de límite para todo Eb existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f'(x)/g'(x) pertenece al Eb. Sea x perteneciente a un E*a f y g son continuas en [x,a] y derivables en (x,a) => por el teorema de Cauchy existe c perteneciente a (x,a) / (f(a) - f(x))/(g(a) - g(x)) = f'(c)/g'(c) o sea f(x)/g(x) = f'(c)/g'(c) c pertenece a un E*a => f'(c)/g'(c) pertenece a un Eb => f(x)/g(x) pertenece al Eb. => limx->a f(x)/g(x) = b => limx->a f(x)/g(x) = limx->a f'(x)/g'(x). Ejemplo     2x - 2 lim ------  es una indeterminación 0/0. x->1  Lx                 Derivemos el numerador y el denominador y veamos el límite:        2                                 2x - 2 lim ------- = 2   => por L'Hôpital   lim ------ = 2   x->1  1/x                            x->1  Lx

Ejercicios:

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Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

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