Sea f es una
función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c pertenece
(a,b) tal que: fórmula del teorema del valor medio
La
interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto
en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema
de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) =
f(b).
Ejemplos
1. ¿Se puede
aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es
continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema
del valor medio:
teorema del
valor medio
solución
2.¿Se puede
aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]?
La función no
es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.
3.En el
segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0)
hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.
Los puntos A
= (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x2 + bx + c.
sistema de
ecuaciones
parábola
Por ser la
función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo
[1, 3].
derivada
teorema del
valor medio
operaciones
solución
4.Calcular
un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2
sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué
teorema garantiza la existencia de dicho punto?
Hallamos la
ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.
ecuación de
la recta
Por ser y =
x3 − x2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el
teorema del valor medio:
teorema de
valor medio
operaciones
solución
5.Determinar
a y b para que la función
función
cumpla las
hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].
En primer
lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].
límites
laterales
operaciones
En segundo
lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).
derivadas laterales
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