Si f es una
función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay
algún punto c pertenece (a, b) en el que f'(c) = 0.
Interpretación
gráfica del teorema de Rolle
La
interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que
la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. ¿Es
aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0,
2]?
función
La función
es continua en [0, 2].
No es
aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x
= 1.
derivada
di+
2. Estudiar
si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en
los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de
c.
f(x) es una
función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los
intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.
Además se
cumple que:
f(−1) = f(0)
= f(1) = 0
Por tanto es
aplicable el teorema de Rolle.
derivada
solución
3.¿Satisface
la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo
[−1, 1]?
La función
es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función
polinómica.
No cumple
teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).
4.Probar que
la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0 tiene una única solución.
Vamos a
demostrarlo por reducción al absurdo.
Si la
función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2 , tendríamos
que:
f(x1) =
f(x2) = 0
Y como la
función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar
el teorema del Rolle, que diría que existe un c pertenece (x1, x2) tal que f'
(c) = 0.
f' (x) = 2 + 6x + 12x2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x2).
Pero f' (x)
≠ 0, no admite soluciones reales porque el discrimínante es negativo:
Δ = 9 − 24
< 0.Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con
el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es
falsa.
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