Axiomas de los números reales

El sistema de números reales es un conjunto R y dos operaciones, adición y multiplicación; y una relación de orden denotada por (<) y leída (es menor que) que satisface los siguientes axiomas:

Axiomas de la Adición (A):

A₁ Para todo a y b en R, a + b Є R. (Estabilidad o “Cerradura”).

A₂ Para todo a y b en R, a + b = b + a. (Ley Conmutativa).

A₃ Para todo a, b y c en R, (a + b) + c = a + (b + c). (Ley Asociativa).

A₄ Hay un elemento y solo un elemento, al que se denota por cero (0), tal que para todo a en R, a + 0 = 0 + a = a. (La existencia y unicidad del elemento neutro aditivo).

A₅ Para cada a en R, hay un y solo un elemento, al que se denota por (- a), tal que a + (- a) = (- a) + a = 0. (La existencia y la unicidad del inverso aditivo).

Los axiomas A₁ al A₅ se refieren a la adición aunque de forma algo parecida se usaran en los axiomas de la multiplicación cuando corresponda esa operación.

El sistema de los números reales R es mas que tan solo un conjunto de elementos. Es un conjunto en el que hay dos operaciones y una relación que satisfacen los axiomas correspondientes. Una operación es completamente diferente a una relación. La operación de adición asocia con cualesquiera dos elementos a y b de R un elemento único de R al que se le llama a + b. A₄ enuncia la existencia de un elemento neutro único. Al elemento neutro para la adición se le llama cero (0). A₅ enuncia que todo elemento de R tiene un inverso aditivo único. Nótese que en el axioma A₄ se pudo haber omitido a = 0 + a. El hecho de que a = 0 + a pudo inferirse de que a + 0 = a usando la ley conmutativa A₂. Observación similar se le aplica al axioma A₅. Además se puede notar que no es necesario postular la unicidad del elemento neutro ni del elemento inverso. Con solo postular la existencia de tales elementos en A₄ y A₅ la unicidad puede probarse.

Aunque la relación de igualdad aparece en los axiomas del sistema de números reales, no se da ningún axioma para esta relación. La relación a = b significa que a es el mismo elemento que el elemento b. Escrito de otra forma a = b significa que se están usando dos símbolos diferentes para representar el mismo elemento. No se necesita formular  explícitamente reglas tales como (si a = b y b = c entonces a = c) o (si a = b, entonces a + b = b + c). Al concluir que a + c = b + c se esta usando la unicidad de la adición.

El axioma A₁ dice que se pueden sumar dos números reales cualesquiera y que su suma es un número real.

Es posible sumar tres números reales a, b y c, sumando primero a y b y luego añadiendo c a la suma así obtenida. Este resultado se denota (a + b) + c. También se puede añadir a a la suma de b y c, denotado como a + (b + c). Como estas sumas son iguales según el axioma A₃, se puede prescindir de los paréntesis y escribir simplemente a + b + c. Más general, la suma de cualquier colección finita de números reales puede manejarse en la misma forma.