Sucesiones de cauchy
En esta sección estudiaremos algunos
conceptos y propiedades básicas de las sucesiones en los espacios métricos. En
primer lugar, daremos una interpretación completamente distinta del concepto de
clausura y continuidad en un punto, a través de las sucesiones.
Como siempre, estaremos trabajando
dentro de un espacio métrico ( M, d). Recordemos que una sucesión en M es una
secuencia infinita de puntos de M, o más precisamente, una función de los
números naturales
f : ℕ ———→ M,
donde la imagen f (n) será denotada por
x n .
El conjunto de las imágenes se denota
por {x n }n≥1 . Por abuso de notación, usamos
este mismo símbolo para representar a la sucesión.
Es posible dar una caracterización de
los puntos de clausura de un conjunto, mediante sucesiones. Recordemos que si A
es un subconjunto de M, entonces un punto a de M se llama punto de clausura de
A, si para todo r > 0, la bola abierta B (a, r) contiene puntos de A.
Podemos construir una sucesión de puntos de A, cuyo límite sea precisamente a.
En efecto, para cada valor de n , número natural, la bola abierta B ( a, 1/n)
contiene un punto de A. Si llamamos a este punto x n, entonces se tiene que
x n Î B ( a, 1/n) ∩ A , o
bien d ( a, x n ) < 1/n
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Entonces, es fácil probar que
Por otra parte, si {x n }n≥1 es una
sucesión de puntos de A que converge hacia a, entonces a debe ser un punto de
clausura. Si esto no es cierto entonces, existe un número real r > 0,
tal que la bola abierta B( a, r) no contiene puntos de A. Pero
sabemos que, usando la definición de límite de una sucesión, debe existir un
entero natural, N0 , tal que la bola B( a, r) contiene todos los puntos de la sucesión x n a partir de N0. Esto, por supuesto, es
una contradicción. Hemos entonces probado la siguiente proposición
Proposición
1. Sea ( M, d) un espacio métrico y A un subconjunto de M, entonces el punto a pertenece a la clausura de A,
sí y sólo si, existe una sucesión de elementos de A que converge a a.
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Viejas definiciones
renovadas
Los puntos de clausura de un conjunto A
se dividen en dos tipos: Puntos aislados y puntos de acumulación. Recordemos
que:
Ejemplo:
Si A = [0, 2 ] ∪ {7, 9}, entonces los únicos puntos aislados son 7
y 9.
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Mientras que
B ( x,
r) ∩ A \ {x} ≠ Æ
Ejemplo:
Si A = (0, 1), entonces 0 es punto de acumulación de A, pues la
sucesión x n= 1/n , converge a 0 y además ella está contenida
en A.
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Con estas nuevas definiciones podemos
dar una caracterización de los conjuntos cerrados en términos de sucesiones.
Recordemos que si F es un conjunto, entonces la clausura del mismo se define
como el conjunto de todos los puntos de clausura y esto se denota por F. También, un conjunto F era cerrado si F = F. Luego se tiene
Sea (M,
d) un espacio métrico y F un subconjunto de M. Entonces F es cerrado en M, si para cualquier sucesión
{ x n} en F que converge a x , se
tiene que x pertenece a F.
Ejemplo:
El conjunto F = ( 0, 2] no es cerrado, pues la sucesión x n= 2/n está en F, converge a 0 y
0 no pertenece a F.
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Recordemos que una función entre
espacios métricos, f : M ——→ N, se dice continua en un punto x 0, si para todo ε > 0, existe un δ> o, tal que d
( f( x) , f( x0 )) < ε , si d ( x, x 0) < δ . Por otro lado, si { x n } es una sucesión de elementos de M que converge a x 0, entonces, dado este δ> o, existe un N 0, tal que d ( x n, x 0) < δ, y por lo tanto d ( f( x n ) , f( x0 )) < ε . Es decir, la sucesión de las imágenes { f( x n ) } converge al punto f( x0 ).
Recíprocamente, si para toda sucesión {
x n }de M que converge a x 0, la sucesión de las imágenes { f( x n ) } converge al punto f( x0 ) , entonces f debe ser continua en el punto x0 . Caso contrario, existe un ε > 0, para cual no existe
ningún δ > o, que cumpla
d ( f( x) , f( x0 )) < ε ,
si d ( x, x 0) < δ , con x en M.
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Luego, para cada n ≥1, podemos tomar a δ = 1/n y entonces
hay un punto x n en la bola
abierta B( x 0 , δ ) , tal que
d ( f( x n ) , f( x0 )) ≥ ε
Entonces tendremos una sucesión { x n } que converge a x0 pero las sucesión de las imágenes { f( x n ) } no es convergente a f( x0 ).
Una
función f : M ——→ N, se dice continua en
un punto x 0 sí y sólo si, para toda
sucesión { x n } de elementos de M que
converge a x 0, se tiene que la sucesión de imágenes { f(
x n ) } converge al punto f(
x0 ).
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Subsucesiones
Sea { x n } una sucesión en un espacio métrico M.
Sea I = { n 1 , n 2 , ...., n k , ...} un subconjunto infinito de números naturales
ordenados en orden creciente, esto es n 1 < n 2 < ...., n k < n k +1<... Entonces una subsucesión de { x n } indizada por I, es la
sucesión { x k }k ÎI .
Ejemplo: De la la sucesión
x n = ( -1)n , podemos extraer la subsucesión de los
términos pares { 1, 1, 1, .....}
Sucesiones de Cauchy.
Sea (M,
d) un espacio métrico, una sucesión { x n } se dice sucesión de Cauchy, si para todo ε > 0,
existe un N > o, tal que d ( x n , x m ) < ε , si n , m ≥ N.
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Ejemplo 1. Toda sucesión convergente en
un espacio métrico M, es de Cauchy. En efecto, si la sucesión { x n } converge a un límite x0 en M, entonces, dado un
ε > 0, existe un N > 0, tal que
d ( x n , x 0 ) < ε /2 , para todo n > N. En
particular, para n y m mayores que N, se tendrá
d ( x n , x m
) ≤ d ( x n , x 0 ) +
d ( x m , x 0 )
< ε /2 + ε /2.
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Luego la sucesión es de Cauchy.
Ejemplo 2. Existen sucesiones que son
de Cauchy, pero no son convergentes, por ejemplo la sucesión x n = 1/ n es de
Cauchy en M = (0, 1] , pero no es convergente. (el límite que es igual a cero
no es un elemento de M)
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