Una sucesión matemática
Es
un conjunto ordenado de objetos matemáticos,
generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro)
de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se
le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse
con una serie matemática, que es la suma de los
términos de una sucesión.
Ejemplo
La
sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión
(C, A, B). En este caso se habla de sucesiones
finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la
sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
Definición
formal
Una sucesión
finita
(de
longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S,
se define como una función y
en este caso el elemento
corresponde
a
.
Por
ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:
Corresponde
a la función
(donde
es el
conjunto de números primos) definida por:
Notación
Notaremos
por
a una
sucesión, donde x la identifica como distinta de otra
digamos
.
La
notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.
Definición
de término general
Llamaremos término
general de una sucesión a
,donde
el subíndice
indica
el lugar que ocupa en dicha sucesión.
Definición
de parcial
Llamaremos parcial de
a una
sucesión
donde
.
Una sucesión
numérica se formaliza como una aplicación de los números
naturales sobre otro conjunto numérico, así por ejemplo:
Una
sucesión de N sobre N, como la sucesión de Fibonacci.
Si
la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales
en los números reales, es decir :
En
cualquier caso se denota simplemente como
o, si se
da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como
.
Tipos
Sucesión
finita
Se
dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo
el n-ésimo:
Genéricamente:
, donde
sería el
término general si hiciese falta.
ejemplo:
100, 99, 98, ... , 1, 0
Sucesión
constante
Se
dice que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo
valor,
, es decir, un
mismo número real cualquiera, ejemplo:
Genéricamente
ejemplo:
si
queda
como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.
Sucesiones
monótonas
Una sucesión
monótona es una sucesión creciente o decreciente:1
Sucesión
creciente
Si
se impone al término general de una sucesión numérica la condición que
, es decir,
que el siguiente término,
, siempre sea
mayor estricto que su predecesor,
, se llaman
sucesiones estrictamente crecientes:
Para
naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Para
enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...
Para
reales:
.
Si
se impone
, es decir,
una desigualdad no estricta, entonces se
pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.
Sucesión
decreciente
Al
igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:
·
si
entonces
la sucesión es decreciente.
Sucesión
alternada
Intuitivamente
se llama sucesión alternada cuando alterna valores
de signo opuesto,
como
que nos
genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
utilizada por las seriesllamadas series
alternadas.
Sucesiones
Acotadas
Se pueden dar tres formas de sucesión
acotada:
·
Una
sucesión {an} estará acotada
superiormente en el caso que exista un número real M que
limite de la siguiente forma la secuencia: {an} ≤ M.
·
Por
otro lado, la sucesión estará acotada inferiormente cuando un
número real N la limite de la forma contraria a la
anterior: {an} ≥ N.
·
Finalmente,
en caso de que se den ambas opciones {an} será
una sucesión acotada.
Sucesiones
Convergentes
Una
sucesión
, converge
a
o tiene
por límite
(cuando
), y se
escribe,
cuando,
Propiedades
Unicidad
del límite de una sucesión
Si
una sucesión
converge,
entonces el
es
único.
|
Sucesión
convergente
Toda
sucesión que tenga límite se dice que es convergente.
Una
sucesión (an ) que tenga por límite I,
se dirá que tiende a I o que converge a I.
Resolución:
·Se
toma un e cualquiera (sin especificar más).
·Hay
que encontrar un no tal que
para n ³ no , 0
- e < an < 0 + e.
2.
Decidir si la sucesión de término general
Resolución:
· Para n =1, a1 =
-1/6 = -0,1666
Para n =
7, a7 = 0,9166
a10000 = 1,9997001; a30000 =
1,9995667;...
Todo
parece indicar que el límite de esta sucesión, cuando n tiende
a infinito, es 2.
Para
probarlo, se hará uso de la definición.
· Se
toma un e cualquiera.
· Hay
que ver a partir de qué n se cumple |an -
2| < e.
13
< e(n + 5) = en + 5e Þ 13 -
5e < en.
En
consecuencia, a12996, a12997, a12998 ...
están todos contenidos en el
Primera
propiedad de las sucesiones convergentes
a) Si una sucesión (an )
tiene límite I positivo, existe un término a partir del cual
todos los términos de la sucesión son positivos.
b) Si
una sucesión (an ) tiene límite I negativo,
existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son
negativos.
c) Si una sucesión converge a cero, no se
puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la
sucesión.
Demostración:
·Por
definición de límite de una sucesión, existe un subíndice n0 tal
que para adelante,
los que le siguen son positivos.
El
razonamiento es análogo al del caso anterior. son
alternadamente positivos y negativos.
|
||||||||
SUCESIONES
ACOTADAS
Sucesiones
acotadas superiormente e inferiormente
Una sucesión (an )
está acotada superiormente si existe un número k tal
que cualquier término de la sucesión es menor o igual que k, es
decir, para todo n,
an £ k.
Al
número k se le llama cota superior de la
sucesión.
De
la misma forma, una sucesión está acotada
inferiormente si existe un número M tal que cualquier
término de la sucesión es mayor o igual que M. En consecuencia,
para cualquier n,an ³ M.
Al
número M se le llama cota inferior de la
sucesión.
Sucesión
acotada
Una sucesión que
está acotada superiormente e inferiormente se dice que está acotada.
En este caso existe un número k tal que -k < an < k,
es decir, |an | < k.
Observando
estas definiciones es claro que una sucesión que diverge a +¥ no puede
estar acotada superiormente, y una sucesión que diverge a -¥ no está
acotada inferiormente.
Ejercicio:
inferiormente
por 2 y superiormente por 3.
Resolución:
Multiplicando
ambos miembros por n2: 2n2 +
1³ 2n2.
Restando
2n2 : 1 ³ 0, lo cual es cierto.
Restando
2n2 a los dos miembros, 1£ n2.
Y
esto es cierto ya que n es un número natural.
Resolución:
Sucesiones acotadas
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus
términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos
cota inferior de la sucesión.
an ≥
k
A la mayor de
las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de
una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión
monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es
igual al ínfimo de la sucesión.
Sucesiones
acotadas superiormente
Una sucesión
está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales
que un cierto número K', que llamaremos cota
superior de la sucesión.
an ≤
k'
A la menor de
las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de
una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión
monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual
al supremo de la sucesión.
Sucesiones
acotadas
Una sucesión se
dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual
que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual
que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de
la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Ejemplos
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
Está acotada
inferiormente
Cotas
inferiores: 1, 0, -1, ...
El mínimo es 1.
No está acotada
superiormente.
bn = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
Está acotada
superiormente
Cotas
superiores: -1, 0, 1, ...
El máximo es -1.
No está acotada
inferiormente.
cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
Está acotada
superiormente
Cotas
superiores: 2, 3, 4, ...
El máximo es 2.
Está acotada
inferiormente
Cotas
inferiores: 1, 0, -1, ...
El ínfimo es 1.
dn = 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
No está acotada.
Por ser
decreciente, 3 es una cota superior, el máximo.
0.5 es una cota
inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la
sucesión está acotada.
0.5 < a n ≤
3
Está acotada
superiormente, 1 es el máximo.
Está acotada
inferiormente, -1 es el mínimo.
Está acotada.
−1 ≤a n ≤
1
Consideramos la función f(x)=x⋅sin(2πx). Calculamos la sucesión correspondiente.
Evaluamos la función en un entero n;
f(n)=n⋅sin(2πn)=n⋅sin(2π)=0
Es decir, define la función constante. Y esta es
creciente , decreciente y acotada superior e inferiormente.
Ahora vamos a ver que la función no es ninguna de
las anteriores. Evaluamos la función en los puntos n+14 para n natural
f(n+14)=(n+14)⋅sin(2πn+2π4)=(n+14)⋅sin(π2)=(n+14)
Vemos por tanto que la función no está acotada
superiormente ya que f(n+14)=n+14 no puede estar acotado
superiormente para todo n.
Evaluamos ahora la función en los puntos n+34 para n natural;
f(n+34)=(n+34)⋅sin(2πn+2π34)=(n+34)⋅sin(3π2)=−(n+34)
De la misma manera obtenemos que que la función no
está acotada inferiormente ya que
f(n+34)=−(n+34)
no puede estar acotado inferiormente para
todo n∈N.
Además, como los valores de n+14 y n+34 están intercalados también
resulta que la función no puede ser monótona ya que en los primeros la función
es positiva y en los segundos negativa.
El límite de una sucesión es uno de los
conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición
rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado
límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente,
y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión
es divergente.
La definición significa que
eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como
queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se
encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica,
en general, que la sucesión tenga un límite
Definición formal
El término general de una sucesión
tiene límite
, cuando
tiende a
, si para todo valor
por pequeño que sea, existe un valor
a partir del cual si
tenemos que la distancia de
a
es menor que
, es decir:
Notación
o también
o simplemente
Ejemplos
La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
converge al límite 0.
·
La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es
oscilante.
·
La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 +
1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
·
Si a es un número real
con valor absoluto |a|
< 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si
0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee
límite 1.
·Propiedades
Si una sucesión
tiene límite positivo, existe un término a
partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
·
Si una sucesión
tiene límite negativo, existe un término a
partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
·
Si una sucesión
converge a cero, no se puede asegurar nada
acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
·
Si una sucesión
tiende a menos infinito y
entonces
tiende a 0.
Sucesiones monótonas
Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es
estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...
5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente
si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...
2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es
estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que
el anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...
1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3;
...
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es
estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual
que el anterior.
an+1 ≤ an
Ejercicios
Estudiar la monotonia de las siguientes
sucesiones:
1
3, 4/3, 1, 6/7,...
La sucesión va decreciendo.
Para cualquier valor de n se cumple la
desigualdad.
Es monótona estrictamente
decreciente.
2
2, − 4, 8, − 16, ...
No es monótona.
En matemáticas, una sucesión de Cauchy
es una sucesión tal que para cualquier distancia dada, por muy pequeña que sea,
siempre se puede encontrar un término de la sucesión tal que la distancia entre
dos términos cualesquiera posteriores es menor que la dada. Es importante no
confundirlo con las sucesiones en las que la distancia entre dos términos
consecutivos es cada vez menor, pues estas no son convergentes necesariamente.
Se llama así en honor al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1805). El
interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en un espacio métrico
completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más
fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de
convergencia.
Definición
Sea
una sucesión. Diremos que
es de Cauchy, si para todo número real ε >
0 existe un entero positivo N tal
que para todos los números naturales m,n > N
donde la barra vertical denota la norma
(que en el caso particular del campo de los reales sería el valor
absoluto).
Análogamente, se pueden definir
sucesiones de Cauchy de números complejos.
Propiedades
Las sucesiones de Cauchy de números
reales tienen las siguientes propiedades:
1. Toda sucesión convergente es una sucesión
de Cauchy.
2. Toda
sucesión de Cauchy está acotada
3. Criterio
de convergencia de Cauchy: Una sucesión de números
reales es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. Es
decir, el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo.
Pueden verse demostraciones de las
propiedades en Introducción al análisis matemático de una variable (Bartle,
Sherbert, 2º edición, año 1996)
En un Espacio Métrico
Definición
En un Espacio
métrico (M,d), una sucesión
se dice de Cauchy si
para todo número real ε > 0 existe
un número natural N, tal que para
todos m, n > N, la distancia
Esto implica que los elementos de la
sucesión se van acercando uno con otro.
Propiedades
1. Toda sucesión convergente es una sucesión
de Cauchy.
2. Toda
sucesión de Cauchy está acotada
En
las sucesiones de Cauchy no tienen por qué ser
convergentes. El ejemplo clásico es
que es de Cauchy pero cuyo límite, el número
, no es racional.
En esta sección estudiaremos algunos
conceptos y propiedades básicas de las sucesiones en los espacios métricos. En
primer lugar, daremos una interpretación completamente distinta del concepto de
clausura y continuidad en un punto, a través de las sucesiones.
Como siempre, estaremos trabajando
dentro de un espacio métrico ( M, d). Recordemos que una sucesión en M es una
secuencia infinita de puntos de M, o más precisamente, una función de los
números naturales
f : ℕ ———→ M,
donde la imagen f (n) será denotada por
x n .
El conjunto de las imágenes se denota
por {x n }n≥1 . Por abuso de
notación, usamos este mismo símbolo para representar a la sucesión.
Es posible dar una caracterización de
los puntos de clausura de un conjunto, mediante sucesiones. Recordemos que si A
es un subconjunto de M, entonces un punto a de M se llama punto de clausura de
A, si para todo r > 0, la bola abierta B (a, r) contiene puntos de A.
Podemos construir una sucesión de puntos de A, cuyo límite sea precisamente a.
En efecto, para cada valor de n , número natural, la bola abierta B ( a, 1/n)
contiene un punto de A. Si llamamos a este punto x n, entonces
se tiene que
|
x n Î B ( a,
1/n) ∩ A , o bien d ( a, x n ) < 1/n
|
Entonces, es fácil probar que
Por otra parte, si {x n }n≥1
es una sucesión de puntos de A que converge hacia a, entonces a debe
ser un punto de clausura. Si esto no es cierto entonces, existe un número real
r > 0, tal que la bola abierta B( a, r) no contiene puntos
de A. Pero sabemos que, usando la definición de límite de una sucesión, debe
existir un entero natural, N0 , tal que la bola B( a,
r) contiene todos los puntos de la sucesión x n a
partir de N0. Esto, por supuesto, es una contradicción. Hemos
entonces probado la siguiente proposición
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