SUCESIONES
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Finita
o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es
una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple
(y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión
infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros
números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión
infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5
primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las
letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión
que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden
alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están
"en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría
ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto,
pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer
muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es
la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo
{0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te
dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}
empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada
vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término,
100º término, o
n-ésimo término (donde n puede
ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con
"n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7,
9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada
vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a
verlo:
Probamos la regla: 2n
n
|
Término
|
Prueba
|
1
|
3
|
2n = 2×1 = 2
|
2
|
5
|
2n = 2×2 = 4
|
3
|
7
|
2n = 2×3 = 6
|
Esto casi funciona... pero la regla
da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que
vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n
|
Término
|
Regla
|
1
|
3
|
2n+1 = 2×1 + 1 = 3
|
2
|
5
|
2n+1 = 2×2 + 1 = 5
|
3
|
7
|
2n+1 = 2×3 + 1 = 7
|
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y
salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular
el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas,
normalmente lo hacemos así:
Posición del término
|
|
Es normal usar xn para los
términos:
xn es el término
n es la posición de ese término
|
|
Así que para hablar del "quinto
término" sólo tienes que escribir: x5
|
Entonces podemos escribir la regla para {3,
5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término,
podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y
sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar,
{3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la
diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
|
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre
cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
|
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre
cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se
calcula multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplos:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
|
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada
dos términos.
La regla es xn = 2n
La regla es xn = 2n
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
|
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada
dos términos.
La regla es xn = 3n
La regla es xn = 3n
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
|
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio)
entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
|
Esta sucesión se genera a partir de una pauta
de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
El quinto número triangular es x5 =
5(5+1)/2 = 15,
y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
|
El siguiente número se calcula elevando al
cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
|
El siguiente número se calcula elevando al
cubo su posición.
La regla es xn = n3
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
|
El siguiente número se calcula sumando los
dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de
los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 +
x4 = 5 + 3 = 8
Series
"Sucesiones" y "series"
pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es
la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el
símbolo Σ que significa "súmalos todos":
 |
Esto significa "suma de 1 a 4" =
10
|
 |
Esto significa "suma los cuatro
primeros términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24 |
Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente si se cumple que
para todo n naturalan <= an+1 (a1 <=
a2 <= a3 <= ... <= an).
Ejemplo:
an =
n es monótona creciente.
a1 =
1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, ...
Sucesión monótona decreciente
Una sucesión es monótona decreciente si se cumple que
para todo n naturalan >= an+1 (a1 >=
a2 >= a3 >= ... >= an).
Ejemplo:
an =
1/n es monótona decreciente.
a1 =
1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 =
1/4, ...
Límite finito de una sucesión
Consideremos
la sucesión an = 1/n.
a1 =
1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1
A medida que
aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si
representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los
puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n
crece.
Se dice que
an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.
Límite finito
lim an = a <=> para todo ε>0
existe N natural / para todo n > Na - ε < an < a + ε, o lo que es
lo mismo, |an - a| < ε.
Para cualquier número positivo ε, por pequeño
que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir
del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.
Límite infinito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = n2.
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000
Al crecer n, an no tiende a un límite
definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a
infinito.
Definición
Límite infinito
lim an = +inf <=> para todo K>0
existe N natural / para todo n > N an > K.
Para cualquier número positivo K (tan grande
como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los
términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede
hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente
grande.
Del mismo modo se define lim an = -inf
<=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an <
K.
Definición
Convergencia y divergencia
Cuando una sucesión tiene límite finito a se
dice que es convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.
La sucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.
Propiedades del límite finito de sucesiones
Unicidad del límite
Si una sucesión tiene límite es único.
H) lim an = b
T) b es único
H) lim an = b
T) b es único
Demostración:
La demostración se hace por reducción al
absurdo.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.
lim an = b => (por def. de límite
finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n1natural / para
todo n > n1 b - ε < an < b + ε;
lim an = c => (por def. de límite finito
de una sucesión) para todo ε>0 existe n2natural / para todo n >
n2 c - ε < an < c + ε
Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε,
o sea ε < (b - c)/2
Sea N = max {n1,n2}
Para todo n > N se cumple
b - ε < an < b + ε
c - ε < an < c + ε
Absurdo, pues an no puede pertenecer a
dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.
Límite de la sucesión comprendida
Si una sucesión está comprendida entre otras
dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.
H) lim an = lim bn = p
Para todo n > n0 an <= cn <= bn
T) lim cn = p
H) lim an = lim bn = p
Para todo n > n0 an <= cn <= bn
T) lim cn = p
Demostración:
lim an = p => (por def. de límite de
una sucesión) para todo ε1 > 0 existe n1natural / para
todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1
lim bn = p => (por def. de límite de
una sucesión) para todo ε2 > 0 existe n2natural / para
todo n > n2 p - ε2 < bn < p + ε2
Sea N = max {n0, n1, n2}
Para todo n > N se cumple p-ε1 <
an <= cn <= bn < p+ε2
p-ε1 < cn < p+ε2
Sea ε = min {ε1, ε2}
Para todo n > N p-ε < cn < p+ε
=> (por def. de límite de
una sucesión) lim cn = p.
Operaciones con límites
El límite de la suma, producto y cociente de
sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de
variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por
an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos
el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobre operaciones
con límites.
Límite de la suma
Si dos sucesiones tienen límite finito,
entonces su suma tiene límite finito y es igual a la suma de esos límites.
H) lim an = a, lim bn = b
T) lim an + bn = a + b
H) lim an = a, lim bn = b
T) lim an + bn = a + b
Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0,
existe N > 0 tal que para todo n > N|(an + bn) - (a+b)|
< ε.
Sea ε' = ε/2
lim an = a => (por def. de límite
finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n0natural /
para todo n > n0 |an - a| < ε'.
lim bn = b => (por def. de límite
finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n1natural /
para todo n > n1 |bn - b| < ε'.
Sea N = max {n0, n1}
Para todo n > N se cumple:
|an - a| < ε'
|bn - b| < ε'
=> |an - a| + |bn - b| < 2ε'
= ε
|(an + bn) -
(a+b)| = |(an - a) + (bn - b)| <= (*) |an - a| +
|bn - b| < ε
(*) Desigualdad triangular: |x + y| <= |x|
+ |y|
Resumiendo, dado ε>0 existe N / para todo
n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε
=> (por def. de límite
finito de una sucesión) lim an + bn = a + b
Definición
Sucesiones equivalentes
Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando
el límite de su cociente es 1.
Definición
Sucesión acotada
M es cota superior de la sucesión an si
an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.
Teorema
Toda sucesión monótona y acotada converge.
H) an monótona
Existen m y M / m < an < M para todo n.
T) lim an = b
H) an monótona
Existen m y M / m < an < M para todo n.
T) lim an = b
Demostración:
Queremos probar que existe N / para todo n
> N |an - b| < ε.
Supongamos que an es creciente (si
suponemos que es decreciente, la demostración es análoga).
an < M para todo n
Es decir que el conjunto de todos los
términos de la sucesión S = {a1, a2, a3, ...}tiene extremo superior (la
menor de las cotas superiores), llamémosle b.
Sea ε>0
b - ε no es cota superior de S pues es menor
que el extremo superior
=> existe N / aN > b-ε.
an es creciente => para todo n > N
an >= aN => an > b-ε => -(an - b) <
ε (1)
b+ε también es cota superior de S
=> para todo n an < (b+ε)
=> => an - b < ε (2)
=> De 1) y 2) para todo n > N
|an - b| < ε
Teorema
Toda sucesión convergente es acotada.
H) an convergente
T) an acotada
H) an convergente
T) an acotada
Demostración:
an es convergente, eso significa que
tiene límite finito: lim an = a
=> (por def. de límite
finito de una sucesión) para todo ε>0 existe N / para todon >
N a-ε < an < a+ε
=> (por def. de sucesión
acotada) an está acotada.
Nota: El recíproco no es cierto. Que una
sucesión esté acotada no implica que sea convergente.
Contraejemplo: an = (-1)n está
acotada pero no es convergente.
-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...
Definición
Par de sucesiones monótonas convergentes
((an),(bn)) es un par de sucesiones monótonas
convergentes si
a) an es creciente y bn decreciente.
b) Para todo n natural an <= bn
c) Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε
a) an es creciente y bn decreciente.
b) Para todo n natural an <= bn
c) Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε
Ejemplo:
an = -1/n, bn = 1/n
an es creciente.
Debemos probar que an+1 >= an, o sea
an+1 - an >= 0
-1
-1 -n + n + 1 1
--- - --- = ---------- = ------ > 0
n+1
n n(n+1) n2 + n
bn es decreciente.
Debemos probar que bn+1 <= bn, o sea
bn - bn+1 >= 0
1 1
n + 1 - n 1
--- - --- = --------- = ------ > 0
n n+1
n(n+1) n2 + n
Para
todo n an < bn
-1
1
--- < --- pues -n < n para todo n.
n n
Dado
ε>0, existe h / bh - ah < ε
1 -1
2
--- - --- = --- < ε
h h
h
Para que se cumpla basta tomar un h > 2/ε
Propiedad
Todo PSMC tiene frontera
((an),(bn)) es un PSMC => existe c / para
todo n an <= c <= bn, lim an = c- ylim bn =
c+.
lim an = c- significa que
an se aproxima a c por la izquierda, y lim bn =
c+ significa que bn se aproxima a c por la derecha.
El número e
A menudo un número a se describe por medio de
una sucesión infinita an de aproximaciones; esto es, el valor a está dado
por el valor an con cualquier grado de precisión deseado si el índice n se
elige suficientemente grande.
Este es el caso del número e (e =
2,718281...), que puede definirse como el límite de la sucesión an = (1 +
1/n)n o de la sucesión bn = (1 + 1/n)n+1.
Probaremos que estas sucesiones forman un
PSMC.
an es creciente.
Demostración:
Utilizando la fórmula del binomio de Newton,
podemos expresar (1+1/n)n como:
n n n n!
an = (1 + 1/n)n = Σ Ci.1n-i.(1/n)i = Σ ----------
i=0 i=0 (n-i)!i!ni
n+1 n+1 n+1 (n+1)!
an+1=(1 + 1/(n+1))n+1
= Σ Ci.1n+1-i.(1/(n+1))i = Σ
----------------
i=0 i=0 (n+1-i)!i!(n+1)i
El desarrollo de an+1 tiene un término
más que el de an y cada término es positivo. Si probamos que cada sumando
de an es menor o igual que el correspondiente de an+1 probaremos que
an es creciente.
n! ? (n+1)!
---------- <= ---------------
(n-i)!i!ni (n+1-i)!i!(n+1)i
n(n-1)...(n-i+1) ? (n+1)(n)...(n+1-i+1) --> i factores
---------------- <= --------------------
n.n....n
(n+1)(n+1)...(n+1) --> i
factores
(n-1)
(n-i+1) ? n
n+1-i+1
-----...------- <= ---...-------
n
n n+1 n+1
1 i-1 ?
1 i-1
(1 - ---)...(1 - ---) <= (1 - ---)...(1 -
---)
n n n+1 n+1
Cada factor es de la forma 1 - p/n donde p es
el mismo en ambos miembros.
1 - p/n < 1 - p/(n+1)
Entonces cada factor del primer miembro es
menor que el correspondiente del segundo.
Por lo tanto, cada sumando del desarrollo de
an es menor que el correspondiente de an+1.
=> an es creciente.
bn es decreciente.
bn = (1 + 1/n)n+1
bn+1 = (1 + 1/n+1)n+2 = (1 + 1/n+1)n+1.(1 +
1/n+1)
?
bn+1 <= bn
?
(1 + 1/n+1)n+1.(1 + 1/n+1) <= (1 + 1/n)n+1
(1 +
1/n)n+1 ? 1
-------------- >= 1 + ---
(1 + 1/n+1)n+1 n+1
n+1/n n+1 ?
1
( ------- ) >= 1 + ---
n+2/n+1 n+1
n2 +
2n + 1 n+1 ?
1
( ----------- ) >= 1 + ---
n2
+ 2n n+1
1 n+1 ?
1
( 1 + ------- ) >= 1 + ---
n2 + 2n n+1
Desigualdad de Bernoulli: (1+p)q >= 1
+ pq si p>=-1 y q>1
1 n+1 n+1
( 1 + ------- ) >= 1 + -------
n2 + 2n n2 + 2n
n+1 ? 1
1 + ------ >= 1 + ---
n2
+ 2n n+1
n+1 ? 1
------- >= ---
n2 + 2n
n+1
n2 + 2n + 1 > n2 + 2n se cumple para todo
n.
Para
todo n an < bn
an = (1 + 1/n)n
bn = (1 + 1/n)n+1
?
bn - an > 0
(1+1/n)n+1 - (1+1/n)n > 0
Sacamos factor común:
(1+1/n)n(1+1/n - 1) = 1/n(1+1/n)n > 0 para
todo n >= 1.
Dado
ε>0 existe n natural / bn - an < ε
(1) (2)
bn - an = 1/n(1+1/n)n
= (1/n)an < (1/n)bn < (1/n)b1 = (1/n)4 < ε
(1) an < bn
(2) bn decreciente
(2) bn decreciente
Basta elegir n > 4/ε
Por lo tanto, an y bn forman un
PSMC. El elemento frontera es el número e.
n=1:
2 < e < 4
n=2:
2,25 < e < 3,375
n=3:
2,37 < e < 3,16
n=4:
2,44 < e < 3,05
...
n=100: 2,70 < e < 2,73
Por : Damarys Rodriguez
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