martes, 19 de agosto de 2014

Sucesión matemática

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números.
Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.
Ejemplo
La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...
En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Definición formal



Una sucesión finita (a_k) (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función
f:\{1,2,\ldots,r\}\to S.
y en este caso el elemento a_k corresponde a f(k).
Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:
2,3, 5, 7
corresponde a la función f:\{1,2,3,4\} \to \mathbb{P} (donde \mathbb{P} es el conjunto de números primos) definida por:
f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=7.
Una sucesión infinita (a_k) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función
f:\N\to S.
en donde, de forma análoga, a_k corresponde a f(k).

Notación

Notaremos por \left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos \left\{{y_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}.
La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a x_n^{},donde el subíndice {n\in \mathbb{N}} indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Definición de parcial

Llamaremos parcial de \left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} a una sucesión \left\{{x_{n_i}}\right\}_{n_i\in \mathbb{N}} donde n_i <n_{i+1} .
Notación 
Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.

Se puede usar la notación (a_n) para indicar una sucesión, en donde a_n hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n.
Ejemplo. Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por (p_n):
(p_n)=2,4,6,8,10,12,...
entonces
p_1 =2, p_2=4, p_3=6, p_4=8,\ldots.
En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior (p_n) puede especificarse mediante la fórmula p_n=2n.
No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.
En la literatura es posible encontrar una gran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límitesmediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:
  • \{ a_n \} =a_1,a_2,a_3,\ldots
  • ( a_k )_{k=1}^m =a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m
  • \{ a_n \}_{n\in \N} =a_1,a_2,a_3,\ldots,

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numerico, así por ejemplo:
\begin{matrix} a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\ & n & \to & a_n \end{matrix}
Una sucesión de N sobre N, como la sucesión de Fibonacci.
Si la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales, es decir :
\begin{matrix} a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ & n & \to & a_n \end{matrix}
En cualquier caso se denota simplemente como \left\{{a_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como \left\{{a_n}\right\}_{n \geq 0}.
El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de a_{}^{} fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo \scriptstyle \frac{x}{y}, \; y \neq 0, se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos,trascendentes, ...
Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o en progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.
El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. En general, dados previamente los valores de a_0, \; a_1,\; ... \; ,\; a_n, podemos definir el término general de forma inductiva como a_{i+1} = f(a_{i-n}, \; ... \; , a_i) , \; i \ge n como por ejemplo con la ecuación en recurrencias a_{i+1} = b_0 a_{i-n} + \; ... \; + b_n a_i + c_n , \; i \ge n, \; b_0, \; ... \; , \; b_n, \; c_n \in \mathbb{R}

Sucesión finita

Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:
Genéricamente:  a_0, \; a_1, \; a_2, \; ... \; , \; a_i , \; ... \; , \; a_n , donde a_i^{} sería el término general si hiciese falta.
ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0

Sucesión constante

Se dice que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, k_{}^{}, es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:
Genéricamente a_0^{} = k, \; a_1 = k, \; a_2 = k, \; a_3 = k, \; ... \; , \; a_n = k,\;...
ejemplo: si k_{}^{}=1 queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1
Sucesiones monótonas
Una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente
Sucesión creciente
Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que a_n^{} < a_{n+1}, es decir, que el siguiente término,  a_{n+1}^{}, siempre sea mayor estricto que su predecesor, a_n^{}, se llaman sucesiones estrictamente crecientes:
Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...
Para reales: -2'01, \; -1, \; 0, \; \sqrt{2}, \; e_{}^{}, \; \pi, \; ,\;....
Si se impone a_n^{} \leq a_{n+1}, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.
Sucesión decreciente
Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:
  • si a_n^{} > a_{n+1} es estrictamente decreciente.
  • si a_n^{} \geq a_{n+1} entonces la sucesión es decreciente.

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como a_n=(-1)^{n} que nos genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... utilizada por las series llamadas series alternadas.

Sucesiones Acotadas

Se pueden dar tres formas de sucesión acotada:
  • Una sucesión {an} estará acotada superiormente en el caso que exista un número real M que limite de la siguiente forma la secuencia: {an} ≤ M.
  • Por otro lado, la sucesión estará acotada inferiormente cuando un número real N la limite de la forma contraria a la anterior: {an} ≥ N.
  • Finalmente, en caso de que se den ambas opciones {an} será una sucesión acotada.

Sucesiones Convergentes

Una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}, converge a a o tiene por límite a (cuando n \rightarrow \infty), y se escribe,
\lim_{n} a_n = a
cuando,
\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}

Propiedades

Unicidad del límite de una sucesión

Si una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} converge, entonces el \lim_{n} a_n es único
Demostración
Sean a, a' \in \mathbb{R} de forma que,
\lim_{n} a_n = a,\ \lim_{n} a_n = a'
Entonces se cumplen estos dos asertos,
Primero,
\forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_1 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_1, n \in \mathbb{N}
Segundo,
\forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_2 \in \mathbb{N} : |a_n - a'| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_2, n \in \mathbb{N}
luego para n > n_0, n_0 = \mbox{max}\{n_1, n_2\},
|a - a'| = |a -a' + a_n - a_n| \leq |a_n - a| + |a_n - a'| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon, \forall \epsilon > 0
Como \epsilon fue elegido de forma arbitraria  entonces a = a' \ \ \blacksquare

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente

Si una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} es convergente, entonces está acotada.
Demostración
Una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} es convergente cuando,
\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}
luego en particular, por ejemplo, para \epsilon = 1 (podríamos haber tomado cualquier otro \epsilon > 0) se verifica que,
|a_n - a| < 1, \forall n \geq n_0
Ahora bien,
|a_n| = |a_n - a + a| = |(a_n - a) - (-a)| \leq |a_n - a| + |-a| = |a_n - a| + |a| < 1 + |a|
luego hemos concluido que \forall n \geq n_0 se verifica que,
|a_n| < 1 + |a|
Se debe encontrar un c > 0 de forma que \forall n \in \mathbb{N} sea |a_n| \leq c. Como a partir del índice n_0 se cumple, sumando a 1 + |a| todos los elementos que van por detrás de n_0 hasta el elemento 1 de la sucesión ya tendríamos el c > 0 buscado.
Entonces si,
c = 1 + |a| + |a_{n_0 - 1}| + |a_{n_0 - 2}| + \cdots + |a_1|
se tiene que,
|a_n| \leq c, \forall n \in \mathbb{N} \ \ \blacksquare








Publicado por en

5 comentarios:

  1. Unknown19 de agosto de 2014, 18:08

    Acá les dejo parte de la unidad II

    ResponderEliminar
    Respuestas
    1. Unknown22 de agosto de 2014, 9:56

      Muy buena la información sobre sucesiones

      Eliminar
    2. Unknown22 de agosto de 2014, 10:10

      Es importante saber que no se debe confundir sucesiones con una serie matemática

      Eliminar
  2. Unknown20 de agosto de 2014, 6:57

    Los que tienen las copias del libro de Zuleima de Barragan, ahi también hay contenido de Sucesiones en el Capitulo IV pág. 181. Hay encontraran informacion Teoremas y como se demuestran

    ResponderEliminar
  3. Yaneth Karina22 de agosto de 2014, 10:59

    En análisis matemático, una sucesión de números reales se define como un conjunto A no vacío. Una sucesión de elementos de A es una aplicación del conjunto N de los números naturales en A. En particular, una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto N de los números naturales en el conjunto R de los números reales.

    ResponderEliminar

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)